Start > Mathe (FHR) > Oberstufe > Trig. Funktion

Trig. Funktion



Sinn und Zweck

Trigonometrische Funktionen schrecken in der Regel zunächst ab. Da gabs soviel mit Grad, Radient, Periode, etc..
Also lauter Fachbegriffe, auf die die meisten Schüler gerne verzichten.
Ich will versuchen in diesem Abschnitt auf die elemtarsten Grundlagen der trigonometrischen Funktionen einzugehen.
Wer etwas genaueres über die Grundlagen der Trigonometrie wissen will, der muss hier nachschauen.

Voraussetzungen für diesen Abschnitt

Für den folgenden Artikel sind Vorkenntnisse notwendig, ohne die man den Beispielen und Rechenwegen garnicht folgen kann. Daher eine kurze Auflistung:
  • Zeichnen / Skalieren von Funktionen
  • Bedeutung sin / cos im Dreieck
  • Lösen von linearen Gleichungen
  • Bedeutung von "Menge der reellen / natürlichen / ganzen Zahlen"

Schwimmbadstein

Stellen wir uns ein leeres Schwimmbecken vor.
Wir einen Stein hinein.
Was passiert?

          ...

Es macht platsch. Aber es passiert noch mehr. Ausgehend von der Einschlagstelle breiten sich Wellen aus. Gehen wir mal von dem idealisierten Bild aus, das heißt alle Wellen sind exakt gleich.
Wenn man jetzt einen Querschnitt bildet, dann erhält man leicht ungefähr folgende Ansicht:

[Grafik mit sinus ohne Koord]

schön, oben ein Tal unten ein Berg? Ne umgekehrt natürlich oben Wellenberg unten Wellental.
In ein solches schönes Bild kann man ja auch ein Koordinatensystem legen. und zwar wie folgt:

[Grafik mit sin und Koord.]

Bedeutung der Achsen im Wellen-Beispiel:

Die x-Achse in der obigen Grafik bezeichnet die Zeit, die vergangen ist, auf der y-Achse wird jeweils eingetragen, wie hoch bzw. niedrig die Welle war.
Was ist aber die Nulllinie? Die Nulllinie bezeichnet in dem obigen Diagramm die Wasserhöhe ohne Stein-Reinwurf.
Das bedeutet, das der Graph eigentlich nur angibt, wie hoch bzw niedrig die Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt gegenüber der Nulllinie ist. Man spricht deswegen auch von einer Auslenkung um die Mittellinie.

Periodizität

An diesem Beispiel kann man ebenfalls erkennen, dass sich Wellentäler und Wellenberge regelmäßig wiederholen. Wenn etwas regelmäßig passiert, dann hat man eine Periode. (praktisches Beispiel: Frauen haben auch eine Periode, anderes Thema, aber selber Inhalt, es kommt regelmäßig vor.)

Zeichnen wir mal die Periode ein:

[Grafik mit sin und Periode]

Amplitude

Die Amplitude ist die maximale Auslenkung um die Mittellinie. Da (wegen regelmäßig) der Ausschlag nach oben immer genauso hoch sein muß, wie nach unten, wird nur der Ausschlag nach oben als Amplitude bezeichnet.

Zusammenfassung Teil 1

Wir fassen zusammen:
Ein regelmäßiger Verlauf heißt periodisch
Die maximale Auslenkung um die Mittellinie heißt Amplitude
Mathematisch lassen sich periodische Vorgänge nur durch sinus, cosinus und tangens darstellen.

Warum ist das so? Die Begründung liefert uns der Einheitskreis:

Einheitskreis:

In einem normalen Dreieck lassen sich sinus und cosinus wie folgt berechnen:

[Grafik sin / cos / Dreieck]

Wenn wir jetzt einen Kreis malen und den Radius gleich Eins wählen, dann haben wir einen Einheitskreis. Praktischerweise taucht das oben genannte Dreieck aber hier wieder auf.

[Einheitskreis mit Dreieck]

Ein Kreis ist schön rund und das ist auch sein Vorteil. Er endet nicht. Ein Kreis hat keinen Anfang und kein Ende, daher wiederholt sich alles in schönster Regelmäßigkeit.

Könnt Ihr Euch nicht vorstellen? Dann schaut bitte einmal hier und vergleicht die beiden Graphen:

[Link zu Applet]

Nullstellen von trigonometrischen Funktionen

Nullstellen bestimmt man auch von linearen Funktionen. oder auch von quadr. Fktn. oder auch von überhaupt allen Funktionen.
Also warum auch nicht für trig. Fktn.

Wie wir bereits gesehen haben wiederholen sich die Nullstellen, aber wie gibt man so etwas sinnvoll an?

Ganz einfach:

Das bedeutet, dass k aus der Menge der ganzen Zahlen kommt. Also k kann alle möglichen ganzen Zahlen annehmen, bspw: k=-2 oder k=34, oder, oder, oder ...
Jetzt hat man mit einer Zeile wirklich alle NS angegeben.


Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen

Alle Eigenschaften von sinus, cosinus und tangens hier zu beschreiben würde zu lange dauern, daher behandele ich hier die Beispiele am Beispiel des cos(a).

Allgemein kann man jeden cosinus so darstellen:

f(x) = a cos(bx+c) + d

Hierbei haben die Parameter a, b, c und d verschiedene Auswirkungen auf den Verlauf des Graphen.

Kurz zusammengefasst gilt:

[Liste mit der Bedeutung der Parameter]

Quadranten-Beziehungen bei sin und cos

Manchmal möchte man Zwischenwerte des Sinus berechnen. Zum Beispiel könnte man sich vorstellen, dass man wissen will, zu welchen Gradzahlen der Sinus einen bestimmten y-Wert annimmt. Schauen wir uns dazu das folgende Bild einfach mal an:

[Sinus mit Bild und horizontaler Linie]

Wie man leicht erkennen kann, wiederholen sich wegen der Periodizität die Schnittpunkte. Aus dem Graphen lassen sich leicht die Ergebnisse ablesen, was ist aber zu tun, wenn der Graph unsauber gezeichnet wurde oder garnicht vorliegt?
Nun denn, dann müssen wir den Winkel berechnen, dass ergibt dann die beispielsweise die Gleichung:

sin(a) = 0,7 | arcsin
a = arcsin(0,7)
a =

Der Taschenrechner liefert jetzt ein Ergebnis, aber laut Zeichnung gibt es ja nicht nur ein Ergebnis, welches sich alle 360° wiederholt. Wenn man sich die Zeichnung aber genau anschaut, dann kann man folgendes erkennen:

[Vergrößerte Zeichnung mit markierten Winkel]

Dies liefert die sogenannten Quadrantenbeziehungen:

sin(a) = sin(180-a)

bzw. für den Cosinus

cos(a) = cos(360-a)

Das bedeutet, wenn man mit Hilfe des Taschenrechners eine Gleichung nach dem Winkel auflöst, dann darf man das "zweite" Ergebnis nicht vergessen, sondern muss es mit Hilfe der Quadrantenbeziehungen bestimmen. Näheres dazu in meinem Unterricht.

Unterschied zwischen sin(alpha) und sin(x)

Beim normalen sin(alpha) wird der Winkel in dem Argument angegeben. Nun gibt es bei vielen Anwendungen aber auch die Angabe des Argumentes in einem Bogenmaß.
Das bedeutet, dass man statt des Winkels die zurückgelegte Strecke betrachtet. Dies kann man sehr schön an dem folgenden Applet erkennen

[Link zum Applet]

Dieser Zusammenhang ist mathematisch manchmal einfacher zu handhaben, als immer mit Gradzahlen zu arbeiten. Speziell, wenn der Sinus und der Cosinus in gemischten Termen mit x auftauchen.
Die Umrechnung ist relativ einfach und statt 360° wird dann der Kreisumfang des Einheitskreises 2 Pi genommen.

Damit ändert sich in Bogenmaß eigentlich nur die Schreibweise, wie hier am Beispiel der Nullstellen des Sinus dargestellt:

[Sin in Bogenmaß und in Grad]

Infoblätter und Arbeitsblätter

graphischer Website-Plotter
Info: Dieser Plotter kann einem helfen, einfache Funktionen zu plotten. Ebenfalls kann er einfache Berechnungen durchführen. Damit lassen sich Ergebnisse kontrollieren und man kann damit schön rumspielen.

Praktische Bedeutung am Kolbenmotor
Info: Wo der Sinus bei einem Standard-Verbrennungmotor auftaucht, dass kann man hier lernen.

Übungen für Plot-Programme
Info: Dieses Übungsblatt ist für die Website (s.o.) gedacht, damit man ein wenig mit dem Plotter herumspielt und sich Auswirkungen verschiedener Graphen anschaut.
Ticker
Last update:
June 29. 2017 19:48:11