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Komplexe Zahlen

Sinn und Zweck:

Mit Hilfe komplexer Zahlen erweitert man den normalen Zahlenbereich der reellen Zahlen.
Dies hat einige mathematische Vorteile (die eher was für die Uni sind) und auch einfach praktische Vorteile, zum Beispiel bei Berechnungen mit Wechselspannung.

Mit Hilfe der komplexen Zahlen lassen sich nämlich zwei Informationen, sprich Phasenlage und Scheinwiderstand "gleichzeitig" verarbeiten. Dies vereinfacht das Berechnen von Scheinwiderständen enorm, weil man keine Zeigerdiagramme mehr zeichnen muss.

Überblick:

In der Regel werden komplexe Zahlen mit Hilfe der sogenannten kartesischen Form eingeführt. Das bedeutet, dass man zwei Informationen (a,b) in einem Koordinatensystem rechtwinklig einträgt, daher kartesisch.
Also einfacher, man trägt den "Punkt" (a,b) in ein Koordinatensystem ein. Die x-Achse wird dabei als Realteil und die y-Achse als Imaginärteil bezeichnet. Aber mit "Punkten" kann man schlecht rechnen, daher gibt es die

kartesische Darstellung:
    z = a + jb            dabei sind a und b reelle Zahlen.

Das j kann man sich als "Bezeichner" vorstellen, damit man weiß welche Achse gemeint ist.

Mit der kartesischen Darstellung lassen sich ganz einfach zwei komplexe Zahlen addieren und subtrahieren. Jedoch wird es komplizierter bei der Multiplikation und bei der Division. (siehe hierzu auch entsprechenden Tafelshot i²=1).
Dafür eignet sich eine andere Darstellung besser. Hintergrund ist, dass man einen Punkt im Koord-System nicht nur mit zwei Koordinaten angeben kann, sondern er sich auch eindeutig durch einen Winkel und den Abstand vom 0-Punkt bestimmen lässt. Dies führt zur

trigonometrischen Darstellung:
    z= r (cos(phi) + j sin (phi))      dabei ist r der Abstand und phi der Winkel

Mit dieser Darstellung kann man zwei Zahlen einfach multiplizieren und dividieren, weil sich man nur die Winkel addieren bzw. subtrahieren muss und nur die Längen mult. bzw. div.

Diese Darstellung ist jedoch sehr lang, daher kann man statt der trigonometrischen Form auch die

Exponential Darstellung
    z=r exp (j * phi)               r und phi wie in der trig. Form

benutzen.
Damit reduzieren sich jetzt alle Rechenregeln auf Potenzgesetze und Grundrechenarten aus der Grundschule.