CI91/CI92 - M
hier findet ihr die gesammelten Aufgaben der letzten Wochen (neueste oben, älteste unten)
Abgabetermin: keiner
Lineare Gleichungssysteme (LGS) bestehen aus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen. Das ist bereits in der Sek I behandelt worden, aber wir wiederholen es hier noch einmal.
Hier findet Ihr drei Infoblätter zu drei verschiedenen Verfahren, die ihr aus der Sek I bereits kennt. Erarbeitet Euch die Verfahren und löst die gestellten Aufgaben auf dem Arbeitsblatt. Dabei soll jedes Verfahren mindestens bei einer Aufgabe angewendet werden.
externer Link: [Twitch Videostream Unterricht: Modellierung eines Münzspiels als LGS]
[Info Gleichsetzungsverfahren]
externer Link: [Youtube Video-Link zu Additionsverfahren]
Aufgabe: Aufgabe für Euch, erarbeitet / wiederholt die drei verschiedenen Verfahren mit Hilfe der Infoblätter und dem Video (oder weiteren Quellen).
Löst dann bitte die Aufgaben vom [Übungsaufgaben für LGS(2)] mit verschiedenen Verfahren.
Abgabetermin: 19.06.2020
Damit man die Nullstellen eines Polynoms berechnen kann, muss ein Polynom in Linearfaktoren zerlegt werden. Die Nullstellen eines Polynoms hängen mit den Linearfaktoren zusammen, das haben wir im Stream bereits erläutert.
externer Link: [Youtube Video: Zusammenhang Linearfaktorzerlegung und Polynom]
Heute ging es darum, wie zerlegt man ein Polynom in seine Linearfaktoren. Dazu verwenden wir die Polynomdivision um den Grad des Polynoms immer weiter zu verkleinern.
Die Idee ist dabei, mit einer bekannten Nullstelle das Polynom zunächst in zwei Faktoren zu zerlegen und danach den zweiten Faktor weiter zu zerlegen.
Dazu wurden im Unterricht mehrere Beispiele durchgerechnet. Die Tafelshots davon habe ich hier verlinkt:
Aufgabe 4 vom [Arbeitsblatt Linearfaktorzerlegung]
[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 1]
![[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 1]](?download=file_CI92_M_14_PD_Beispiel01a.jpg){kind=link}
[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 2]
![[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 2]](?download=file_CI92_M_14_PD_Beispiel01b.jpg){kind=link}
[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 3]
![[Tafelshot Beispiel 1, Tafelseite 3]](?download=file_CI92_M_14_PD_Beispiel01c.jpg){kind=link}
Aufgabe 1 vom [Arbeitsblatt Linearfaktorzerlegung]
![[Tafelshot Beispiel 2]](?download=file_CI92_M_15_PD_Beispiel02.jpg){kind=link}
Aufgabe 9 vom [Arbeitsblatt Linearfaktorzerlegung]
![[Tafelshot Beispiel 3]](?download=file_CI92_M_16_PD_Beispiel03.jpg){kind=link}
externer Link: [Twitch Videomitschnitt: fällt aus wegen fehlender Batterie in der Kamera <grr>]
externer Link: [Youtube Video: Erklärung der Zerlegung eines x^4 Polynoms]
Aufgabe:
Das folgende Arbeitsblatt enthält mehrere Übungen zur Polynomdivision, wenn eine Nullstelle bereits vorgegeben ist.
[Infoblatt mit Musterlösung zur Linearfaktorzerlegung]
[Arbeitsblatt Linearfaktorzerlegung]
Bearbeitet von diesem Arbeitsblatt
Aufgabe 3 (vorgegebene NS (-1/0) und
Aufgabe 10 (vorgegebene NS (1/0)
Die CI92 bereitet diese Aufgabe für den Präsenzunterricht am Freitag 19.06.2020 vor.
Die CI91 bitte die handschriftliche Lösung abfotografieren per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de.
Abgabetermin: 12.06.2020
Wie wir bereits in der letzten Einheit gesehen haben, besteht ein Zusammenhang zwischen dem Grad des Exponenten und der Anzahl der Linearfaktoren.
Wenn alle Nullstellen bekannt sind, dann ist es leicht, das Polynom aufzuschreiben. Kenne ich eine Nullstelle => ich kenne auch den zugehörigen Linearfaktor. Beispiel: Nullstelle bei (4/0) => zugehöriger Linearfaktor ist dann (x-4).
Häufig besteht aber das umgekehrte Problem, ich kenne das Polynom, aber ich würde gerne wissen, welche Linearfaktoren / Nullstellen dieses Polynom hat.
Dazu nutzt man die Polynomdivision. Den Zusammenhang und die zugehörige Erklärung habe ich in dem folgenden Video erläutert:
externer Link: [Twitch Präsenz-Video: Polynomdivision und Linearfaktoren]
[Infoblatt zur Durchführung einer Polynomdivision]
externer Link: [Twitch Präsenz-Video: Wie macht man eine Polynomdivision, Schritt für Schritt]
wenn Euch meine Erklärung so nicht reicht, gibt es hier noch weitere Quellen, in denen die Polynomdivision erklärt wird.
externer Link: [Youtube Video: Polynomdivision-Song]
externer Link: [Youtube Video: Polynomdivision Beispiel durchgerechnet]
externer Link: [Youtube Video: Begriffe Polynome und Erklärung Polynomdivision]
externer Link: [Polynomdivision anhand Grundschulmathematik erklärt]
Aufgabe:
Das folgende Arbeitsblatt enthält mehrere Übungen zur Polynomdivision, wenn eine Nullstelle bereits vorgegeben ist.
[Arbeitsblatt Polynomdivision (nur Aufgabe 4)]
Bearbeitet von diesem Arbeitsblatt Aufgabe 4a oder 4b oder 4c
Die CI91 bereitet diese Aufgabe für den Präsenzunterricht am Freitag 12.06.2020 vor.
Die CI92 bitte die handschriftliche Lösung abfotografieren per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de.
Abgabetermin: 10.06.2020
Es geht in diesem Stream hauptsächlich um Begriffsdefinitionen und Zusammenhänge.
Zunächst soll geklärt werden, was ein Polynom ist. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Grad eines Polynoms und der Anzahl Nullstellen.
Ein Polynom (beispielsweise) x^3+32x^2-2x lässt sich in Linearfaktor unterteilen, dann kann man die Nullstellen leicht ablesen. Aber es kann nicht beliebig viele Linearfaktoren geben.
externer Link: [Twitch Video: Polynombegriff und Zusammenhang Linearfaktor und Nullstellen]
Eine weitere Quelle habe ich hier gefunden, die Nullstellenberechnung erklärt. Sieht zwar etwas theoretisch aus, aber es sind alle Berechnungen erklärt und mit Beispielen versehen.
externer Link: [Zusammenfassung Berechnung Nullstellen von Polynomen Grad 0 bis 4]
Aufgabe:
Das folgende Arbeitsblatt enthält verschiedene Aufgaben zu quadratischen Gleichungen
1 - [Arbeitsblatt zu dem Begriff eines Polynoms (leicht)]
Bitte bearbeitet dieses Arbeitsblatt vollständig.
Wie man aus den Nullstellen die Funktionsgleichung bestimmen kann, dazu dient die Aufgabe 3 von diesem Arbeitsblatt:
2 - [Arbeitsblatt Funktion aus Nullstellen (nur Aufgabe 3)]
Bearbeitet von diesem Arbeitsblatt Aufgabe 3
Die CI91 und CI92 bitte die handschriftliche Lösung abfotografieren per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de.
Abgabetermin: 05.06.2020
In der heutigen Stunde haben wir nochmal die verschiedenen Lösungsverfahren: quadratische Ergänzung, Satz vom Nullprodukt, pq-Formel besprochen.
Wenn man zwei Gleichungen speziell:
x^2-8x+15=0 und (x-5)(x-3)=0
miteinander vergleicht, dann stellt man fest, dass beide Gleichungen dieselben Lösungen haben.
Dies führt zu einem neuen Begriff des Linearfaktors und einer Linearfaktor-Darstellung. Das ist in dem folgenden Video-Mitschnitt erklärt.
externer Link: [Twitch Videomitschnitt: Wdh quadr.Erg + Definition Linearfaktor, LinFak-Darstellung]
Zusätzlich haben wir uns mit einer weiteren Aufgabe der Brücken-Parabeln beschäftig und den Lösungsweg dafür an der Tafel entwickelt.
externer Link: [Twitch Videomitschnitt: Lösung der Brückenaufgabe Seite 2]
Es hat sich herausgestellt, dass viele Schüler (m/w/d) noch Probleme beim Lösen von quadratischen Gleichungen haben und manchmal auch nicht wissen, wann sie Klammern auflösen oder wann nicht.
Deswegen gibt es als Hausaufgabe weitere Übungsaufgaben zum Lösen von quadratischen Gleichungen.
Aufgabe:
Das folgende Arbeitsblatt enthält verschiedene Aufgaben zu quadratischen Gleichungen
[Arbeitsblatt zu quadratischen Gleichungen]
Bitte bearbeitet von Aufgabe 1) drei beliebige Aufgaben und Aufgabe 3) vollständig.
Die CI92 erledigt diese Aufgabe bitte bis Freitag zum Präsenzunterricht.
Die CI91 bittedie handschriftliche Lösung abfotografieren + Screenshot von Geogebra und per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de.
Abgabetermin: 29.05.2020
Im Videostream von heute habe ich das Lösen von quadratischen Gleichungen im Zusammenhang mit konkreten Anwendungen besprochen. Als Beispiel nimmt man gerne Brücken, weil diese häufig einen "Parabelbogen" enthalten. Eins dieser Brückenbeispiele habe ich heute besprochen.
Dabei habe ich einen Vorzeichenfehler beim Abschreiben der Funktionsgleichung g(x) gemacht. Deswegen stimmt der Lösungsansatz zwar prinzipiell, aber nicht exakt mit dem Arbeitsblatt überein.
externer Link: [Twitch Videostream Unterricht: Anwendungen mit quadr. Fktn/Gleichungen]
Ebenfalls haben wir uns nochmal mit quadratischen Gleichungen beschäftigt, dazu gibt es ein Übungsblatt. Die Lösungen kann man mit der unten angegebenen Software Geogebra selber berechnen oder man
[weitere Übungsaufgaben zum Berechnen quadratischer Gleichungen]
externer Link: [ganz ausführliche Erklärung der quadratischen Ergänzung mit Übungen]
externer Link: [online Rechner für quadr. Erg, p-q-Formel mit Erklärung]
Ein nützliches Werkzeug für den PC ist die Software Geogebra. Diese werden wir in Zukunft häufiger im Mathematik-Unterricht einsetzen, also installiert diese Software schon mal. Es gibt sie auch als portable Version.
externer Link: [Link zu Geogebra-Homepage mit weiteren Informationen]
externer Link: [Link zu Geogebra-Download]
externer Link: [Link zu verschiedene Geogebra-Downloads, auch portable]
Aufgabe:
Wir haben ein Beispiel von mehrern der "Brückenaufgaben" besprochen. Hier sind die restlichen Aufgaben dazu:
[Arbeitsblatt zu Brückenaufgaben]
1. Sucht Euch eine der noch nicht behandelten Aufgaben raus und berechnet die Lösung dazu handschriftlich auf Papier.
2. Sucht Euch eine weitere (andere) Aufgabe heraus und erstellt die Graphen der Funktionen mit Geogebra.
Die handschriftliche Lösung abfotografieren + Screenshot von Geogebra und per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de, das gilt für alle.
Abgabetermin: 26.05.2020
Im Videostream von heute habe ich das Lösen von quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung und Satz vom Nullprodukt besprochen.
externer Link: [Twitch Videostream Unterricht: Satz vom Nullprodukt und quadratische Ergänzung]
wie bei mir üblich, habe ich noch weitere Quellen verlinkt, damit man Alternativen hat, wenn man meine Erklärung nicht versteht.
externer Link: [Youtube Video: Erklärung Lösen einer quadratischen Gleichung]
externer Link: [Youtube Video: quadratischen Gleichung Wurzel ziehen, typischer Fehler]
Das Umformen von Gleichungen macht immer Probleme, daher habe ich hier eine Zusammenfassung für alle gängigen Regeln in 5 Minuten verlinkt.
externer Link: [Youtube Video: Umstellen von Gleichungen, Umstellungsregeln]
externer Link: [Youtube Video: Ausklammern von Termen]
Aufgabe:
[einfache Übungsaufgaben zu qE und SvNP]
Berechnet alle Aufgaben handschriftlich auf Papier, möglichst ohne Taschenrechner.
Zusatzaufgabe:
von dem Aufgabenblatt vom letzten Mal, die Aufgaben 1 und 2 nochmal, vielleicht klappt es jetzt besser:
[Übungsaufgaben zu Satz vom Nullprodukt, quadratische Gleichung]
Die Lösung abfotografieren und per Mail einzureichen an Klaus.Rosanowski @ btr-rs.de, das gilt für alle.
Empfehlungstermin: 22.05.2020
So mal ein kleiner Überblick über die noch zu bearbeitetenden Themen:
- Lösen von Gleichungen mit x^2, x^3 und x^4
- Polynomdivision und Wiederholung Satz vom Nullprodukt
- Schnittpunkt-Bestimmung zwischen zwei Parabeln und Schnittpunkt Parabel / Gerade
- Mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen => Lineares Gleichungssystem (LGS)
- Lösen eines LGS mit den bekannten Methoden aus der 10 (Einsetzung/Gleichsetzungsverfahren)
(ist eigentlich Wdh von Stoff aus der 10)
Damit man sich mit den bisher behandelten Themen nochmal auseinandersetzen kann, habe ich ein paar Links zusammengesucht, die ganz hilfreich sein können.
Diese Linksammlung werde ich in den nächste Wochen noch ausbauen, damit Ihr auch gut vorbereitet in das nächste Schuljahr gehen könnt.
[Lösen von quadratischen Gleichung, Vortrag aus Förderkurs BTR]
[Musterlösung der quadratischen Ergänzung]
[Infoblatt zu Lösen mit Satz vom Nullprodukt]
[Begriffsdefinition Was ist ein Polynom, Was ist ein Grad]
externer Link: [Youtube Video: Quadratische Gleichung mit p-q Formel lösen]
externer Link: [Youtube Video: Satz vom Nullprodukt bei größeren Termen]
externer Link: [Youtube Video: Quadratische Ergänzung und Wdh. Binome]
externer Link: [Umfangreiche Zusammenfassung quadratische Gleichungen]
Empfehlung:
Das folgende Arbeitsblatt verwende ich standardmäßig. Es gibt einen guten Überblick über die verschiedenen Standardtechniken zum Lösen von Gleichungen.
Ich empfehle die Aufgabe 1 und die Aufgabe 2 zu machen. Bei Aufgabe 2 bitte nur die Lösungen der Gleichungen berechnen (ignoriert das Wort Linearfaktor).
[Übungsaufgaben zu Satz vom Nullprodukt, quadratische Gleichung, Polynomdivision]
Zusatz:
Wer das mit der Polynomdivision verstanden hat, der kann auch Aufgabe 4 machen.
bei 4a) soll man zum Beispiel mit (x-2) die Polynomdivision machen, bei 4b) mit (x-1) und bei 4c) mit (x+1)
Wenn Ihr das nicht hinbekommt, nicht schlimm, das bespreche ich im Videostream am Freitag.
Um die Nullstelle zu ermitteln, wird die Funktionsgleichung "=0" gesetzt und nach einer Lösung für due
entstehende Gleichung gesucht.
Für einige Gleichungen gibt es Standardalgorithmen.
- lineare Gleichungen werden durch äquivalentes Umformen gelöst.
- Quadratische Gleichungen lassen sich durch quadratische Ergänzung und
anschließendes Umformen mit Fallunterscheidung oder durch die
Lösungsformel lösen. - Gleichungen höheren Grades (n>2) lassen sich zwar auch durch
Lösungsformel lösen, die aber sehr umständig ist. In einigen Fällen
kann man zum Bestimmen von Nullstellen einigen Verfahren anwenden.
Die drei dargestellten Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen verstehen und die Übungsaufgaben schrifitlich lösen.
Zum Verfahren: Substitutionsverfahren
externer Link: [Youtube Video: Lösen von Gleichungen mit Substitutionsverfahren]
Zum Polynomdivision
externer Link: [Youtube Video: Polynomdivision zum Lösen von Gleichungen]
Aufgabe: Bearbeitet die Aufgaben:
und gebt es per Mail an h.gao @ btr-rs.de ab.
den Exponenten (positiv / negativ bzw. gerade / ungerade) verstanden gehabt.
In diesem Arbeitsauftrag geht es um die Einführung von ganzrationalen Funktionen (auch als Polynomenfunktionen genannt). Mit der praxisorientierten Aufgabe versteht man, wo die ganzrationale Funktionen im Alltagsleben vorkommen. Nach der Bearbeitung der Aufgabe kriegt man den ersten Überblick über die grafische Darstellung von ganzrationalen Funktionen. Anhand der grafischen Darstellung wird die
erste wichtige Eingeschaften von ganzrationalen Funktion thematisiert - Globalverlauf.
1. Ganzrationale Funktionen grafisch mithilfe Wertetabelle oder Geogebra darstellen. Achte auf den Definitionsbereich und Wertbereich. Das heißt, welcher Abschnitt im Graph für die Aufgabe sinn hat.
2. Allgemeine Form von ganzrationalen Funktionen. Bedeutung von Koeffizienten und dazugehörigen Exponenten(auch als Grad genannt).
3. Der dominierende Term ax^n bestimmt den Globalverlauf von ganzrationalen Funktionen.
Dazu gibt es Informationsblatt zum Lesen und verstehen. Zwei Youtube Videos bedienen zur Ergänzung
Aufgabe: Bearbeitet die gestellten Aufgaben und gebt es per Mail an h.gao @ btr-rs.de ab.
Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen
wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet. Um die
wesentliche Eigenschaften von Potenzfunktionen zu untersuchen,
verwendet man die grafische Darstellungsmöglichkeiten. Dafür bietet
das Programm Geogebra eine optimale Lösung. Am Ende des Arbeitsauftrag
gibt es ein Lösungsvorschlag zum Abgleich.
Aufgabe: Bearbeitet die gestellten Aufgaben und gebt es per Mail an h.gao @ btr-rs.de ab.
Aufgabe: Bearbeitet die gestellten Aufgaben.
Aufgabe: Bearbeitet die gestellten Aufgaben.
Aufgabe: Bearbeitet die gestellten Aufgaben.
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